Simplificar fracciones algebraicas

Matemáticas 3o ESO

Simplificar
Denominador común
Sumas y restas de fracciones algebraicas
Producto de fracciones algebraicas
Cociente de fracciones algebraicas
Ejercicios

$simplificar fracciones algebraicas$

Ya hemos visto en raíz cuadrada el artículo sobre expresiones algebraicas, concepto y distintos tipos de expresiones algebraicas. Ahora vamos a hacer hincapié en una de las operaciones que debemos hacer siempre que tengamos fracciones, simplificar.

De hecho ya lo hacemos cuando tenemos fracciones numéricas y hemos de llegar a la fracción más sencilla, como vimos con la utilidad de simplificación de fracciones, pero ahora la diferencia será que en vez de números lo que tenemos son expresiones algebraicas en cada parte de la fracción, pero la metodología será la misma.

Llamamos fracción algebraica al cociente de 2 expresiones algebraicas.

Ejemplos de fracción algebraica

$\frac{3x^4 + 2x^4}{ 5x^4}$

$\frac{2b^3 + 4b^2}{ 4b^2 + 2b^3}$

$\frac{-12abc^2 + 6c^2} {a^2 - 5b^2}$

$\frac{3x^2+ 7x + x^2} {x^4 - 3x^4 + 4x^2 + 7x}$

Una vez entendemos el concepto de fracciones algebraicas vamos a seguir con los pasos que debemos seguir para simplificar según los tipos de operaciones que nos encontremos. El concepto de simplificar ya lo conocemos de las fracciones numéricas, se trata de buscar factores repetidos tanto en el numerador como en el denominador para eliminarlos en ambas partes. Veámoslo con un ejemplo:

$\boxed { \frac{ 2a \cdot (a-1)^2 } {6a^3 \cdot (a^2-1) } = \frac{2 \cdot a \cdot (a-1) \cdot (a-1)} { 2 \cdot 3 \cdot a \cdot a^2 \cdot (a-1) \cdot (a+1) } \to{ \text{ Simplificando 2a(a-1)} } = \frac{a-1}{3a^2 \cdot (a+1) } }$

Es requisito indispensable para simplificar que todos los términos del numerador y del denominador sean factores, es decir, se multipliquen entre si y no existan ni sumas ni restas entre los términos.

Común denominador en fracciones algebraicas

Para poder abordar la simplificación en las fracciones separadas con sumas y restas hemos de recordar como lo hacemos cuando se trata de fracciones numéricas. Como bien sabemos para ello sacamos el mínimo común múltiplo para que coincidan los denominadores de todas las fracciones separadas por sumas o restas, de tal manera que podemos después juntar en una única fracción con el común denominador y la suma de los numeradores.

Tratándose de fracciones algebraicas también vamos a necesitar sacar el mínimo común múltiplo en el denominador cuando tengamos la suma de varias fracciones, por tanto hemos de proceder de manera similar con la diferencia de que consideramos factores no sólo los números primos, sino también expresiones como x, (x+1), (x-1), (x + y), o cualquier expresión que veamos se puede repetir en los diferentes denominadores.

Ejemplos de cálculo del común denominador en fracciones algebraicas

La mejor manera de aprender visualmente es ver varios ejemplos donde trataremos de obtener todos los factores diferentes en los denominadores para formar lo que llamaríamos en fracciones numéricas el mínimo común múltiplo, es decir, la representación mínima que contiene todos los factores en los denominadores.

$\boxed { \frac{2}{b}, \frac{3b}{2a }, \frac{c^2}{b^2} \to{ \text{ m.c.d. es: } } 2 \cdot a \cdot b^2 }$

$\boxed { \frac{3y}{x^2}, \frac{3x}{(x+2)}, \frac{3xy}{x^2-2^2} \to{ \text{ m.c.d. es: } } x^2 \cdot (x+2) \cdot (x-2) }$

En este ejercicio hemos de tener en cuenta la identidad $(x+2)(x-2)=x^2-2^2$ . Por otra parte también vemos que el factor $x^2$ no está incluido en $x^2 - 2^2$ . Cualquier duda puedes hacer uso de la asistencia online.

$\boxed { \frac{b+2}{c \cdot b^2}, \frac{3b}{2a +3 }, \frac{c^2}{b^2} \to{ \text{ m.c.d. es: } } c \cdot b^2 \cdot (2a+3) }$

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Sumas y restas de fracciones algebraicas

Ya conocemos todo lo necesario para sumar y restar fracciones algebraicas, pensabas que había algo más, pues ahora a practicar, pues viendo unos cuentos ejercicios resueltos es la mejor manera de aprender. Cuando veas que la solución está oculta puedes en una hoja aparte tratar de resolver el ejercicio y comprobar que el resultado te da lo mismo. En algunas ocasiones el desarrollo puede seguir varios caminos, por eso primero comprueba el resultado final.

Pasos a seguir

Calcular el común denominador de todas las fracciones

En cada fracción sustituir denominador por el común denominador

Multiplicar cada numerador por los factores añadidos en su denominador

Sumar/restar todos los numeradores y mantener el denominador común

Ejemplos de suma y resta de fracciones algebraicas

$\boxed { \frac{2}{b} + \frac{3b}{2a } - \frac{c^2}{b^2} = \frac {2 \cdot 2 \cdot a \cdot b}{2 \cdot a \cdot b^2 } + \frac{3 \cdot b \cdot b^2}{2 \cdot a \cdot b^2 } - \frac{c^2 \cdot 2 \cdot a}{2 \cdot a \cdot b^2 } = \frac { 4 \cdot a \cdot b + 3 \cdot b^3 - 2 \cdot a \cdot c^2}{2 \cdot a \cdot b^2 } }$

Hemos procedido de la misma forma que cuando sumamos fracciones numéricas, donde multiplicamos el numerador por aquellos factores que hemos tenido que añadir al denominador para hacerlo común, y por tanto conseguir que la igualdad no cambie. Veamos más ejemplos.

$\boxed { \frac{3y}{x^2} - \frac{3x}{(x+2)} = \frac{3y \cdot (x+2)}{x^2 \cdot (x+2) } - \frac{3x \cdot x^2}{x^2 \cdot (x+2)} = \frac{3xy + 6y - 3x^3}{x^2 \cdot (x+2)} }$

$\boxed { \frac{3}{a^2} + \frac{a+3}{a} = \frac{3}{a^2} + \frac{a(a+3)}{a\cdot a} = \frac{3+a^2+3a}{a^2} = \frac{a^2+3a+3}{a^2} }$

$\boxed { \frac{3a+5}{2a+3} - \frac{a-7}{2a+3} = }$

Solución al ejercicio

$\boxed { \frac{3a + 5 - (a-7)}{2a+3} = \frac {2a + 12}{2a + 3 } }$

$\boxed { \frac{5y+4}{y} + \frac{y-2}{2y} = }$

Solución al ejercicio

$\boxed { \frac{2(5y+4)}{2y} + \frac{y-2}{2y} = \frac {10y + 8 + y -2}{2y} = \frac{11y + 6}{2y} }$

$\boxed { \frac{2}{x} + \frac{3}{2x} + \frac{x-2}{x} = }$

Solución al ejercicio

$\boxed { \frac{2\cdot 2 + 3 + 2(x-2)}{ 2x} = \frac {4 + 3 + 2x -4}{2x} = \frac{2x+3}{2x} }$

Producto de fracciones algebraicas

La multiplicación de fracciones no necesita del cálculo del común denominador pues el proceso es el mismo que ya conocemos de multiplicar fracciones numéricas.

Pasos a seguir

El numerador será el producto de los numeradores

El denominador será el producto de los denominadores

Simplificar los factores repetidos arriba y abajo de la fracción

Sencillo, no?

Ejemplos de producto de fracciones algebraicas

$\boxed { \frac{2}{b} \cdot \frac{3b}{2a } \cdot \frac{c^2}{b^2} = \frac {2 \cdot 3b \cdot c^2}{b \cdot 2a \cdot b^2 } = \frac { 3 \cdot c^2 }{a \cdot b^2 } }$

Los términos 2 y b están repetidos en numerador y denominador y los hemos simplificado en el último paso.

$\boxed { \frac{3y}{x^2} \cdot \frac{3x}{(x+2)} = \frac{3y \cdot 3x}{x^2 \cdot (x+2) } = \frac{9y}{x \cdot (x+2) } }$

Hemos simplificado x de ambas partes.

$\boxed { \frac{3}{a^2} \cdot \frac{a+3}{a} = \frac{3(a+3)}{a^2 \cdot a} = \frac{3(a+3)}{a^3} }$

Vemos que no podemos simplificar el factor a del denominador pues en el numerador a no está como factor, sino dentro de un polinomio.

$\boxed { \frac{3a+5}{2a+3} \cdot \frac{a-7}{2a+3} = }$

Solución al ejercicio

$\boxed { \frac{(3a + 5)(a-7)}{(2a+3)(2a+3)} = \frac {3a^2-21a+5a-35}{(2a+3)^2} = \frac{3a^2-16a-35}{(2a+3)^2} }$

$\boxed { \frac{x+5}{10} \cdot \frac{5}{(x+5)^2} = }$

Solución al ejercicio

$\boxed { \frac{(x+5) \cdot 5}{10 \cdot (x+5)^2} = \frac {5 \cdot (x+5)}{2 \cdot 5 \cdot (x+5) \cdot (x+5)} = \frac{1}{2(x+5)} }$

$\boxed { \frac{4b-3}{2b} \cdot \frac{4b^2}{8b-6} = }$

Solución al ejercicio

$\boxed { \frac{ (4b-3) \cdot 4b^2 }{ 2b \cdot (8b-6) } = \frac { 2b \cdot 2b \cdot (4b-3) }{ 2b \cdot 2 \cdot (4b-3) } = b }$

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Cociente de fracciones algebraicas

Como ya te esperabas el cociente de fracciones algebraicas se realiza igual que el cociente de fracciones numéricas. Por tanto es como multiplicar en cruz las 2 fracciones.

Pasos a seguir

El numerador será el producto del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción

El denominador será el producto del denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción

Simplificar los factores repetidos arriba y abajo de la fracción

Sencillo, no?

Ejemplos de cociente de fracciones algebraicas

$\boxed { \frac{2}{b} : \frac{3b}{2a} = \frac {2 \cdot 2a }{b \cdot 3b } = \frac {4a}{3b^2} }$