Expresiones algebraicas ESO

Expresiones algebraicas en Matemáticas

Que es una expresión algebraica
Tipos de expresiones algebraicas
Monomios
Polinomios
Identidades
Calculadora para expresiones algebraicas

En la ESO ya sabemos que a veces nos encontramos con problemas a resolver donde interviene un valor que desconocemos y que a menudo llamamos x. Muchas veces nos encontramos a esa x envuelta en una fórmula, como las que hemos visto en cinética o dinámica, que nos permite establecer relaciones para, despejando, obtener su valor. Pues bien, esa x que todos conocemos la vamos a llamar a partir de ahora una variable o incógnita y la fórmula donde está incluida la llamaremos expresión algebraica.

¿Qué es una expresión algebraica?

Por tanto una expresión algebraica será una relación de números, letras y símbolos, donde los números representan valores conocidos, las letras representarán variables como x, y, z, …, y los símbolos operaciones matemáticas como +, -, /, *, (, ), etc.

Tipos de expresiones algebraicas

Básicamente vamos a establecer los tipos de expresiones algebraicas en función de que el signo igual esté o no contenido en dicha expresión.

Expresiones algebraicas sin símbolo =

MonomiosExpresiones algebraicas que no incluyen sumas ni restas de diferentes términos, por ejemplo, $\frac{1}{2}at^2$

PolinomiosExpresiones algebraicas con varios términos separados por sumas o restas, por ejemplo, $s_o + v_ot + \frac{1}{2}at^2$

Expresiones algebraicas con símbolo =

IdentidadesRepresenta una igualdad que siempre será cierta, sea cual sea el valor de las variables, la más fácil de entender, por ejemplo $a+b = a+b$

EcuacionesEn este caso tendremos una igualdad que sólo es cierta para ciertos valores de las variables que resuelven dicha igualdad, por ejemplo, $x+5 = 8$ , donde ya sabemos que tan sólo x=3 hace cierta esta igualdad.

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Monomios

Ya hemos adelantado al inicio el concepto de monomio y por tanto podemos definir que:

Monomio es el producto de un número por una o varias variables.

En esta expresión identificamos coeficiente como la parte numérica del monomio, incluyendo el signo si lo llevara.
En la parte de las variables vamos a llamar grado a la suma total de factores que intervengan. Hemos de pensar que si tenemos un término al cuadrado es como si tuviéramos 2 terminos y así sucesivamente. Con unos ejemplos quedará mucho más claro.

Ejemplos de cálculo del grado de un monomio

El grado de 8a es 1 (a).

El grado de $2b^3$ es 3 (b*b*b).

El grado de $-12abc^2$ es 4 (a*b*c*c).

El grado de 12 es 0 (no tiene variable).

Operaciones con monomios

Suma de monomios

Sólo se pueden sumar monomios semejantes, es decir, aquellos cuya parte no numérica (variables) son idénticas. Recordamos el famoso ejemplo de primaria de que no se pueden sumar peras con manzanas, pues aquí igual, no podemos sumar 2x + 3y, pues x e y son cosas diferentes. En cambio si tenemos 2x si que podemos sumar 5x, dando como resultado 7x.
Esto conlleva que si sumamos monomios semejantes obtendremos otro monomio, pero si sumamos o restamos monomios que no son semejantes lo que vamos a obtener es un polinomio, veamos algunos ejemplos:

Ejemplos de suma o resta de monomios

$3x^4 + 2x^4 = 5x^4$

$2b^3 + 4b^2 = 4b^2 + 2b^3$

$-12abc^2 + 6c^2 = -12abc^2 + 6c^2$

$3x^2+ 7x + x^2 + x^4 = x^4 + 4x^2 + 7x$

Producto de monomios

En el caso del producto de monomios siempre vamos a obtener como resultado un monomio, pues tan solo tenemos que agrupar o simplificar los factores que aparecen en los 2 monomios que estamos multiplicando. Veamos también algún ejemplo:

Ejemplos de multiplicación de monomios

$3x^4 \cdot 2x^4 = 6x^8$

$2b^3 \cdot 4b^2 = 8b^5$

$-2abc^2 \cdot 6c^2 = -12abc^4$

$3x^2 \cdot 7x \cdot x^2 \cdot x^4 = 21x^9$

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Polinomios

Aunque ya con lo que hemos visto sabemos perfectamente lo que es un polinomio podemos de todos modos dar una definición sencilla como la siguiente:

Entendemos por polinomio toda expresión algebraica que contenga la suma o resta de 2 o más monomios

Operaciones con polinomios

Suma de polinomios

La suma de polinomios, al igual que en los monomios, nos permite únicamente sumar términos o monomios semejantes. Habitualmente, en los casos de polinomios con términos con una única variable pero elevada a diferentes potencias, solemos poner los polinomios uno arriba del otro haciendo coincidir arriba y abajo los monomios semejantes.

Ejemplos de suma o resta de polinomios

$(3x^4 + 2x^3 - 2x^2 + 5) + (2x^4 -2x^3 + 3x -3) = 5x^4 - 2x^2 + 3x +2$

$(2b^3 + 4b^2 - b + 4) - (b^3 + b^2 + 6) = b^3 34b^2 -b -2$

$(-12abc^2 + 6c^2) - (6abc^2 - 4b^2) = 6abc^2 + 6c^2 + 4b^2$

Producto de polinomios

Monomio por polinomio Multiplicamos el monomio por cada uno de los términos (monomios) del polinomio.

Polinomio por polinomio Multiplicamos cada término (monomio) del primer polinomio por cada uno de los términos (monomios) del segundo polinomio.

Ejemplos de multiplicación de polinomios

$3x^4 \cdot (2x^2 + x - 2) = 6x^6 + 3x^5 - 6x^4$

$2b^3 \cdot (ab^2 - c^2) = 2ab^5 - 2b^3c^2$

$(ab^2 + c^2) \cdot (2c^2 \cdot ab) = 2ab^2c^2 + a^2b^3 + 2c^4 + abc^2$

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Identidades

Una identidad es una igualdad algebraica que es cierta para cualquier valor de las variables que intervienen.

Un ejemplo muy sencillo y claro será x=x, donde para cualquier valor de x, evidentemente va ser igual a x. Además de esta identidad tan sencilla, desde raiz cuadrada te vamos a mostrar otras que son muy importantes.

Identidades notables

Son muy sencillas y las vas a ver repetidas muchas veces a partir de ahora, pues se aplican mucho más de lo que puedes pensar al verlas.

Identidades notables

Cuadrado de una sumaElevar al cuadrado una suma es lo mismo que el cuadrado del primer término más el cuadrado del segundo término más el doble del primero por el segundo

$(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$

Cuadrado de una restaEl cuadrado de una resta es el cuadrado del primero más el cuadrado del segundo más el doble del primero por el segundo.

$(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$

Suma por diferenciaLa suma de 2 términos por su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.

$(a + b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2$

Ejemplos de identidades notables para ESO

$\boxed{a^2-9 = a^2 - 3^2 = (a+3)(a-3)}$ $\boxed{a^2 + 4a + 4 = a^2 + 2^2 + 2\cdot 2\cdot a = (a+2)^2}$ $\boxed{(b-3)^2 = b^2 + 3^2 - 2 \cdot b \cdot 3 = b^2 - 6b + 9 }$

Este tipo de desarrollos los necesitarás muchas veces cuando simplificas expresiones algebraicas.

Calculadora de expresiones algebraicas

Las expresiones algebraicas incluyen en sus términos variables que pueden tomar diferentes valores, y muchas veces nos interesa saber el valor final de esa expresión para diferentes valores de la variable. En esos casos necesitas una utilidad para introducir la expresión algebraica y poder introducir también un valor de las variables que intervienen.

En otros videos anteriores ya hemos visto como hacer ese cálculo para una sola variable x en una calculadora Casio, abajo puedes consultar el vídeo, pero si en tu expresión algebraica intervienen más de 1 variable necesitas otra utilidad. Desde raíz cuadrada te recomendamos esta herramienta gratuita para calcular el resultado de expresiones algebraicas en base a diferentes valores de las variables.

Ecuaciones Exponenciales y Logaritmicas Con Calculadora

Vídeo para aprender el modo como introducir una ecuación o función en la calculadora y ver el resultado para diversos valores de x.

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