Fracciones 2o ESO

Definición de fracción
Conceptos previos
Operaciones con fracciones
Suma de fracciones
Resta de fracciones
Multiplicación de fracciones
División de fracciones
Simplificar una fracción

Definición de fracción

Con los números naturales es muy fácil entenderse, podemos tener 1 coche, 2 motos, 3 televisiones, …, pero a veces podemos hacer trozos de una misma cosa o unidad, es decir, podemos fraccionar en pequeñas partes. Cuando estas divisiones que hacemos sobre dicho objeto son todas idénticas nos encontramos con el concepto de fracción en matemáticas, donde el ejemplo más típico es la división de la tarta en partes iguales o fracciones.

Hacer 4 partes iguales en un pastel (fuente:wikipedia)

Numerador y denominador

Cuando dividimos un objeto en partes iguales podemos escoger un cierto número de partes de dicha división, por ejemplo, en la tarta hemos dividido en 4 trozos iguales pero hemos cogido solo 1 troza. La manera de expresarlo es una cuarta parte y el modo de representarlo matemáticamente es:
Representación matemática de esta fracción de tarta: $\frac{1}{4}$ En esta expresión hemos avanzado 2 nuevos conceptos, el numerador y el denominador.
El denominador es la parte de abajo de la fracción, es decir, el número de partes iguales en que dividimos el objeto, en nuestro caso 4 partes.
El numerador es la parte de arriba de la fracción, y se corresponde con el numero de partes que hemos cogido de dicho reparto, en nuestro caso 1 trozo.
Por tanto las fracciones siempre las encontraremos representadas matemáticamente con estos dos números, numerador y denominador:
Representación matemática de una fracción genérica: $\frac{numerador}{denominador}$

Conceptos previos

Evidentemente las fracciones, como concepto matemático, pueden requerir hacer operaciones matemáticas sobre ellas, sumar, restar, multiplicar y dividir van a ser las primeras operaciones que vamos a aprender a calcular usando fracciones. Para realizar estas operaciones sobre las fracciones vamos a introducir dos conceptos que vamos a necesitar.

Fracciones con igual denominador

Entendemos que varias fracciones tienen igual denominador si todas ellas tienen el mismo número en su denominador, por ejemplo:

Ejemplos de fracciones con mismo denominador

$\frac{4}{12}$

$\frac{7}{12}$

$\frac{3}{12}$

$\frac{5}{12}$

Fracciones equivalentes

Entendemos que dos fracciones son equivalentes cuando al simplificarse dan lugar a la misma fracción irreductible. Ambas fracciones equivalentes son idénticas y pueden relacionarse con el símbolo matemático = para unirlas.

Ejemplos de fracciones equivalentes

$\frac{4}{12}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

$\frac{7}{12}=\frac{14}{24}$

$\frac{3}{12}=\frac{6}{24}=\frac{12}{48}$

$\frac{5}{12}=\frac{10}{24}$

Para obtener fracciones equivalentes podemos multiplicar por un mismo número el numerador y el denominador o dividir por un mismo número numerador y denominador.

Una sencilla manera de saber si dos fracciones son equivalentes es utilizar esta regla:
$\boxed{ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \implies a \cdot d = b \cdot c }$ Por tanto, para comprobar si la fracción a partido b es igual a la fracción c partido d debemos multiplicar en cruz y comprobar que a por d da el mismo valor que b por c.

Operaciones con fracciones

Esta utilidad te ayuda a practicar sencillas operaciones matemáticas con fracciones, suma, resta, multiplicación y división, viendo los pasos intermedios y el resultado final simplificado.

$Operaciones matemáticas con fracciones$ Operaciones matemáticas con fracciones online

Suma de fracciones

La suma de fracciones conlleva 3 pasos:

Obtener las fracciones equivalentes con mismo denominador (Para ello calculamos el mcm)
Sumar los numeradores de todas ellas y mantener el denominador
Simplificar a una fracción irreductible

Ejemplos de suma de fracciones

$\frac{1}{4}+\frac{2}{5}=\frac{1 \cdot 5}{20}+\frac{2 \cdot 4}{20} = \frac{5}{20}+\frac{8}{20} = \frac{13}{20}$

$\frac{7}{10}+\frac{5}{12}+2 = \frac{42}{60}+ \frac{25}{60}+ \frac{120}{60} = \frac{187}{60}$

$\frac{2}{5}+\frac{5}{12}+\frac{2}{3}=\frac{24}{60}+\frac{25}{60}+\frac{40}{60}=\frac{89}{60}$

$\frac{2}{5}+\frac{4}{10}=\frac{4}{10}+\frac{4}{10}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$

Resta de fracciones

La resta de fracciones conlleva 3 pasos:

Obtener las fracciones equivalentes con mismo denominador (Para ello calculamos el mcm)
Restar los numeradores de todas ellas y mantener el denominador
Simplificar a una fracción irreductible

Ejemplos de suma de fracciones

$\frac{1}{4}-\frac{2}{10}=\frac{5}{20}-\frac{4}{20} = \frac{1}{20}$

$2-\frac{5}{12} = \frac{24}{12}-\frac{5}{12} = \frac{19}{12}$

$\frac{2}{5}-\frac{5}{12}=\frac{24}{60}-\frac{25}{60}=\frac{-1}{60}$

$\frac{2}{5}-\frac{3}{10}=\frac{4}{10}-\frac{3}{10}=\frac{1}{10}$

Multiplicación de fracciones

La multiplicación de 2 fracciones es más fácil que la suma y la resta pues no es necesario hacer el cálculo del mínimo común múltiplo. Simplemente multiplicamos los numeradores y los denominadores, esto lo podemos representar gráficamente en la expresión matemática de abajo:
$\boxed{\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}= \frac{a \cdot c}{b \cdot d}}$ Por tanto la multiplicación de fracciones nos va a llevar tan solo 2 pasos:

El numerador resultante será el producto de los 2 numeradores y el denominador resultante será el producto de los 2 denominadores.
Simplificar a una fracción irreductible

Ejemplos de multiplicación de fracciones

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{10}=\frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 10} = \frac{2}{40} = \frac{1}{20}$

$2 \cdot \frac{5}{12} = \frac{2 \cdot 5}{1 \cdot 12} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{12}=\frac{2 \cdot 5}{5 \cdot 12} =\frac{10}{60}=\frac{1}{6}$

$\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{10}=\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 10}=\frac{6}{50}=\frac{3}{25}$

División de fracciones

La división de 2 fracciones tampoco requiere del cálculo del mínimo común múltiplo, sigue la regla de la multiplicación en cruz, es decir, el numerador será el producto del numerador del dividendo por el denominador del divisor, y el denominador será el resultado de multiplicar el denominador del dividendo por el numerador del divisor. Esto lo podemos representar gráficamente en la expresión matemática de abajo:
$\boxed{\frac{a}{b} : \frac{c}{d}= \frac{a \cdot d}{b \cdot c}}$ Por tanto la división de fracciones también lleva sólo 2 pasos:

El numerador resultante será el producto del numerador del dividendo por el denominador del divisor y el denominador resultante será el producto del denominador del dividendo por el numerador del divisor.
Simplificar a una fracción irreductible

Ejemplos de división de fracciones

$\frac{1}{4} : \frac{2}{10}=\frac{1 \cdot 10}{4 \cdot 2} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$

$2 : \frac{5}{12} = \frac{2 \cdot 12}{1 \cdot 5} = \frac{24}{5}$

$\frac{2}{5} : \frac{5}{12}=\frac{2 \cdot 12}{5 \cdot 5} =\frac{10}{25} = \frac{2}{5}$

$\frac{2}{5} : \frac{3}{10}=\frac{2 \cdot 10}{5 \cdot 3}=\frac{20}{15}=\frac{4}{3}$

Simplificar una fracción

Simplificar fracciones es siempre el paso final que hay que hacer en cualquier operación que realicemos con fracciones. El proceso de simplificar consiste en descomponer en factores el numerador y el denominador, de tal manera que aquellos factores que se repiten arriba y abajo de la fracción pueden ser eliminados para buscar la fracción equivalente más pequeña que podamos.
Para obtener la fracción equivalente más simplificada de una fracción hemos preparado esta nueva utilidad que lo realiza automáticamente mostrando visualmente los factores del numerador y denominador para poder ver fácilmente los factores repetidos que hemos podido simplificar.

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